201503 - page 98
北京工商大学学报
(
社会科学版
)摇 摇 摇 摇 2015
年
摇
第
3
期
即
(CVaR
p
,
琢
+
滋
p
)
2
T
(
2
c
-
b
2
)
a
(
-
滋
p
+
b
)
a
2
c
a
-
b
2
a
2
= 1 (7)
其 中
,
a b
é
ë
êê
ù
û
úú
b c
= (
E
T
撞
- 1
E
)
- 1
,
且
E
T
=
滋
1
滋
2
…
滋
n
1 1 …
é
ë
êê
ù
û
úú
1 。
由于
撞
与
(
E
T
撞
- 1
E
)
- 1
为正
定矩阵
,
其逆矩阵也是正定矩阵
,
且对称
,
于是
a b
é
ë
êê
ù
û
úú
b c
是正定的
,
故
a
,
c
> 0,
且
ac
>
b
2
。
(
三
)
正态性假定下模型显性解的相关性质
方程
(7)
为模型
(5)
的显性解或有效边界
,
同
时可以得到
3
条性质
:
首先
,
对于显著性水平
琢
,
组合
X
属于
M鄄CVaR
边界一定有组合属于
M鄄V
边界
,
且属于
M鄄VaR
边界
。
其次
,
当且仅当
1
琢 渍
[
椎
- 1
(
琢
)] > 1
/ a
时
,min
X
CVaR
p
,
琢
组合存在
。
最
后
,
若
min
X
CVaR
p
,
琢
组合存在
,
则在
M鄄V
有效边界
上最小
CVaR
点要高于
M鄄V
的最小方差点
,
高于
M鄄VaR
的最小
VaR
点
。
对性质
1
中组合
X
属于
M鄄CVaR
边界一定有
组合属于
M鄄V
边界的结论可参见林旭东
、
巩前锦
(2004)
[3]
的证明
,
现在仅说明属于
M鄄CVaR
边界
的组合
X
一定属于
M鄄VaR
边界
。
若
min
X
CVaR
p
,
琢
组合不是
M鄄VaR
模型的有效边界
,
则会存在一个
组合
v
沂
X
,
使得
E
(
r
v
) >
E
(
r
w
), VaR (
r
v
) <
VaR(
r
w
),
可验证至少当
0 <
琢
臆10
%
时
,
有
1
琢 渍
[
椎
-1
(
琢
)] =
T
逸
S
=
椎
-1
(
琢
),
于是有
CVaR(
r
v
) <
CVaR(
r
w
),
这与
min
X
CVaR
p
,
琢
组合存在相矛盾
。
紧接着说明性质
2,
由
min
X
CVaR
p
,
琢
= min
X
{
T滓
p
-
滋
p
}
知其有解的必要条件为式
(8):
鄣
CVaR
p
,
琢
鄣
滓
p
=
T
-
滓
p
b
2
-
ac
+
a滓
2
p
= 0 (8)
解得
摇
滓
p
=
T ac
-
b
2
aT
2
- 1 。
此时
,
滋
p
= -
b
+
b
2
-
ac
+
a滓
2
p
a
= -
b
a
+ 1
a
ac
-
b
2
aT
2
- 1
(9)
由于
ac
-
b
2
> 0,
故要求
aT
2
- 1 > 0,
代入
1
琢 渍
[
椎
- 1
(
琢
)] =
T
,
得式
(10):
1
琢 渍
[
椎
- 1
(
琢
)] > 1
a
(10)
在
M鄄V
模型的投资组合边界上
,
最小
CVaR
为式
(11):
(CVaR
p
,
琢
)
min
=
T
2
ac
-
b
2
aT
2
- 1 +
b
a
-
摇 1
a
ac
-
b
2
aT
2
- 1 =
b
+ (
ac
-
b
2
)(
aT
2
- 1)
a
(11)
对于性质
3
中
,min
X
VaR
p
,
琢
= min
X
{
S滓
p
-
滋
p
}
全
局最小点分别为
寛
滓
p
=
S ac
-
b
2
aS
2
- 1 ,
寛
滋
p
= -
b
+
b
2
-
ac
+
a滓
2
p
a
= -
b
a
+ 1
a
ac
-
b
2
aS
2
- 1 ,
于是最小
VaR
为式
(12):
(VaR
p
,
琢
)
min
=
S
2
ac
-
b
2
aS
2
- 1 +
b
a
-
摇 1
a
ac
-
b
2
aS
2
- 1 =
b
+ (
ac
-
b
2
)(
aS
2
- 1)
a
(12)
故可知
(CVaR
p
,
琢
)
min
逸(VaR
p
,
琢
)
min
,
因此
M鄄V
有效边界上最小
CVaR
点要高于
M鄄V
的最小方
差点
,
高于
M鄄VaR
模型的最小
VaR
点
。 M鄄CVaR
边界曲线上全局最小
CVaR
投资组合点之上的任
一点都是确定性偏好投资者的有效组合
,
具体选择
哪一点取决于投资者对收益满意水准
r
的选择
。
四
、
非正态性假定下满意水准
—
风险模型与
正态性转换
虽然假设市场因子服从正态分布极大简化了
研究
,
然而金融计量学家在大量的实践与经验研
究中发现
,
绝大多数金融时间序列数据的分布均
存在负偏
、
尖峰厚尾特征以及波动的集聚性与非
对称性性质
,
对以正态性假定为基础的现代金融
理论提出了挑战
,
摒弃正态性假设因此成为当今
金融学研究的一个重要方面及其热点问题
。
当人
们认识到
VaR
以及
CVaR
风险计量方法过分依
赖正态性假设
,
存在对于收益率通常存在的异方
差性
、
非对称性和厚尾特征考虑不足的缺陷时
,
基
于正态分布的
VaR
与
CVaR
估测可能存在相对
于实际风险的严重偏误
,
这种偏误来自于实际计
·89·
I...,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97
99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,...127
