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第
30
卷
摇
第
3
期
孙春花
,
李腊生
:
投资者偏好
、
决策准则以及组合选择优化
的取值充分表明了投资者的确定性偏好
。
显然
,
当投资者的确定性偏好愈强烈
,
其
琢
的值便选的
愈小
。
三
、
确定性偏好下的满意水准
—
风险模型
(
一
)
构建满意水准
—
风险模型
投资者选择组合投资的目标为
:
在期望收益
一定的条件下
,
使组合投资风险最小化
;
或者在组
合投资风险一定的条件下
,
使期望收益最大化
;
或
者最小化组合投资风险
,
使最大化期望收益
。
设
X
= (
x
1
,
x
2
,…,
x
n
)
T
与
滋
= (
滋
1
,
滋
2
,…,
滋
n
)
T
为投
资者对
n
种风险资产的投资权重与期望收益率
向量
,VaR
p
,
琢
与
CVaR
p
,
琢
是
n
种资产构成投资组
合
P
的风险值
。
投资者会依据其确定性偏好
,
首先决定偏好参数
,
然后设立收益与风险的满
意水准
r
和
A
0
或
CA
0
,
并依据满意水准去寻求行
动的有效集
。
投资者的决策过程描述为不等式
方程
(1) :
滋
p
= X
T
滋
逸
r
VaR
p
,
琢
臆
A
0
或
CVaR
p
,
琢
臆
CA
0
移
n
i =
1
x
i
=
1,
x
i
>
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
0
(1)
如果满足模型
(1)
的解唯一
,
投资者便可获
得满意准则下的最优行动
。
如果模型
(1)
的解是
空集或多元素
(逸2)
集
,
不妨设模型
(1)
的解是多
元素
(逸2)
集
。
投资者可依据目标来调整满意水
准
r
和
A
0
或
CA
0
的取值
,
调整的路径有三条
:
一
是固定风险的满意水准
A
0
,
通过不断提高收益率
的满意水准
,
最终使模型
(1)
只具有唯一解
;
二是
固定收益率的满意水准
r
,
通过不断降低风险的
满意水准
,
最终使模型
(1)
只具有唯一解
;
三是在
提高收益率的满意水准
r
的同时也降低风险的满
意水准
A
0
,
直至模型
(1)
只具有唯一解
。
由于第
一和第二条路径是一个问题的两个方面
,
第三条
路径则是第一和第二条路径的综合
,
为了简化分
析
,
第三条路径就不再赘述
。
就第二种路径而言
,
显然它演变成了有约束的风险最小化问题
,
用形
式化的方式表述见式
(2):
min
X
CVaR
p
,
琢
(2)
s. t.
滋
p
= X
T
滋
逸
r
移
n
i =
1
x
i
=
1,
x
i
逸
ì
î
í
ïï
ïï
0
(
二
)
正态性假定下满意水准
—
风险模型的
显性解
考虑
CVaR
的测算和确定性偏好都与市场因
子的分布有关
,
同时中心极限定理的广泛实践应
用以及正态性假定具有的优良性质
,
这里首先考
虑资产组合市场因子服从正态分布
(
或各资产市
场因子独立服从正态分布
)
时
,
模型
(2)
对应的显
性解
。
选定显著性水平
琢
下
VaR
与
CVaR
测算
公式
(
林旭东
、
巩前锦
,2004)
[3]
为式
(3)
和式
(4):
VaR
p
,
琢
= min {
a
,
F
(
x
,
a
)逸
琢
} =
椎
- 1
(
琢
)
滓
p
-
滋
p
(3)
CVaR
p
,
琢
=
E
[
f
(
x
,
y
) |
f
(
x
,
y
)逸VaR
琢
] =
1
琢
乙
f
(
x
,
y
)逸VaR
p
,
琢
1
2
仔滓
[
exp (
t
-
滋
)
2
2
滓
]
2
d
t
=
1
琢 渍
[
椎
- 1
(
琢
)]
滓
p
-
滋
p
=
T滓
p
-
滋
p
(4)
其中
,
Y
= (
y
1
,
y
2
,…,
y
n
)
T
为引起组合价值发
生损失的市场因子
,
f
(
x
,
y
)
为组合的预期损失函
数
。
若
p
(
y
)
为向量
Y
的概率密度函数
,
则对任意
的
a
沂
R
,
预期损失的分布函数可表达为
F
(
x
,
a
) =
乙
f
(
x
,
y
)
> a
p
(
y
)d
y
,
渍
(·),
椎
(·)
分别为标准正态分布
N
( 0, 1 )
的概率密度函数与分布函数
。
撞
=
(
滓
ij
)
n
伊
n
是资产的协方差矩阵
,
且严格正定
,
滓
2
p
=
X
T
撞X
,
椎
- 1
(
琢
) =
S
, 1
琢 渍
[
椎
- 1
(
琢
)] =
T
,
于是得到
模型
(2)
的等价形式为式
(5):
min
X
CVaR
p
,
琢
= min
X
{
T滓
p
-
滋
p
}
(5)
s. t.
滋
p
= X
T
滋
逸
r
移
n
i =
1
x
i
=
1,
x
i
逸
ì
î
í
ïï
ï
0
由于凸函数
滓
(
X
) =
X
T
撞X
在
D
{
=
X
沂
R
n
X
T
滋
逸
r
,
移
n
i =
1
x
i
= 1,
x
i
逸
}
0
非空闭凸子集上存在
唯一的最小值
(
刘庆伟
、
彭大衡
,2002)
[4]
,
可以证
明模型
(5)
存在唯一最优解
。
同样可以证明模型
(5)
中不等式约束在最优解处是紧的
(
姚京
、
李仲
飞
, 2004 )
[5]
,
因此满意水准
—
风险模型
( M鄄
CVaR)
边界等价于对传统
M鄄V
模型做了一个简
单变换
。
基于一种简单新颖矩阵
M鄄V
模型的有
效边界
(
李腊生
、
翟淑萍
,2006)
[6]
,
有式
(6):
摇 CVaR
p
,
琢
=
T滓
p
-
滋
p
=
T a滋
2
p
+2
b滋
p
+
c
-
滋
p
(6)
·79·
I...,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96
98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,...127
