201404 - page 85

北京工商大学学报( 社会科学版 )摇 摇 摇 摇 2014 年摇 第 3 期
2郾 随机偏微分方程的解析解
总体思路是:将其转化为另一个带边界条件 ,
类似式(20) 的标准热传导方程, 并求出该标准热
传导方程的解析解。 经推导( 详细过程略 ), 得到
偏微分方程(19) 的解析解为:
F( S,t) = S te
(R P - D) - ( R S - D )滓 P
滓 S
1 - 滓 P
滓 S
(T - t) (21)
( 四) 导出股指期货高频动态估值模型
以上尽管得到了股指期货动态价格偏微分方
程模型的解析解,但是, 在实际市场操作中, 还存
在以下两个问题:
第一,对投资者而言, 式 (21) 中对冲投资组
合 P 的 RP 和 滓 P 随着 棕 的变化而变化, 难以确
定,导致式 (21) 无法付诸实施。
第二,对冲投资组合中 P 的股指期货部分与
指数现货部分的价格比例 棕 应该如何确定, 才能
使对冲投资组合 P 的风险最小。
因此,必须寻求一个适当的 棕* , 使对冲投资
组合 P 能够规避非系统性风险,并以此来确定对
冲投资组合 P 的 R P 和 滓P 。 于是有 :
棕*2 滓2F + 滓2
s + 2 棕* 滓 FS = 滓2min (22)
其中,滓FS 是股指期货和指数现货收益率的动
态协方差。
对式(22)中的 棕 求偏微分, 可得:
鄣 [ 棕*2 滓2F + 滓2
s + 2 棕* 滓 FS]
鄣 棕* = 2 棕* 滓2
F + 0 + 2 滓FS = 0
(23)
由式(23)解出:
棕* = - 滓FS
滓2
F (24)
设股指期货和指数现货收益率的动态相关系
数为 籽,则式(24) 变为:
棕* = - 籽 滓S
滓F (25)
此时,棕* 能使对冲投资组合 P 的风险最小 ,
即最优风险配置率。
再把式(25) 分别代入式(17),可得:
RP = - 籽RF
滓s
滓 F + R S, 滓P = (1 - 籽) 滓s (26)
最后,把式(26) 代入式 (21), 刚好可消去 籽,
得到:
F( S,t) = S t
[
e ( RS - D) - RF
滓 S
滓 ]
F ( T - t) (27)
式(27) 即是股指期货高频动态估值模型 。
与式(21)相比 ,式 (27) 消去了 R P 和 滓 P ( 即
对冲投资组合 P 的相关参数 ), 避免了需考虑对
冲投资组合 P 的困扰,即进一步简化了股指期货
高频动态估值模型。
( 五) 参数估计方法
为方便公式书写,令 :
专颐 = ( R S - D) - R F
滓 S
滓F (28)
则估值模型式(27)可简化为:
F估计
t = St e专预 (T - t) (29)
其中,式(29) 中的“ 预 冶 表示“ 预测冶。
从式(28) 中 , 在等式右边 ,动态预测收益率
R 预
S 、 R预
F , 以及动态预测波动率 滓预
s 、 滓预
F 都无法直
接观测, 因此参数 专 预 无法直接观测。 Black
(1995) 也指出, 预测收益率是难以估计的。 可
见,无法直接对参数 专 预 进行参数估计。
为解决该问题,以下步骤拟采用适应性预期
模型,通过前期已实现的参数 专实 , 来对当期 专预
t
进行参数估计。 Elton(1999) 指出,预期收益率通
常由已实现的收益率来代表 ( proxy )。 Elton
(1999) 也指出,已实现收益率可以作为预测收益
率的无偏估计。 Evans 和 Honkapohja (2001 ) 指
出,在适应性预期假设下 ,投资者对未来会发生的
预测是基于历史的, 目前对将来的预测由前期的
预测,以及前期预测与目前实际数据之差的调整
项构成,即 :
字 预
t = 字 预
t - 1 + 茁( 字 实
t - 1 - 字 预
t - 1 ) (30)
其中,字 预 表示预期值, 字实 表示实际值, 茁 为参
数。 如果 茁 = 1, 那么 字 预
t = 字 实
t - 1 。
使用有限次迭代替换,式 (30)可变为 :
字 预
t = 茁字 实
t - 1 + 茁(1 - 茁 ) 字 实
t - 2 +
茁(1 - 茁 ) 2 字 实
t - 3 + 茁(1 - 茁) 3 字 实
t - 4 + … (31)
即时刻 t 的预期值 字 预
t 可以用一系列过去的
实际值的指数加权平均来表示。 如果 0 < 茁 < 1,
则对于时刻 t 的预期值 字 预
t 而言,越是早期的实际
值,其影响越小 。
套用式(31),专 可按如下方式估计:
专 预
t = b0 + b1 专 实
t - 1 + b2 专实
t - 2 + b3 专实
t - 3 +
b4 专实
t - 4 + … + bn 专实
t - n + 着 t (32)
式(32) 中的滞后期 n 可采用赤池信息量准
则(AIC) 来确定 。
·08·