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第 29 卷摇 第 4 期 陈晓杰: 股指期货高频动态估值研究
其中:
R F =
1
2 滓2
S S2 鄣 2 F
鄣 S2 + ( RS - D) S 鄣 F
鄣 S + 鄣 F
鄣 t
F ,
滓F =
滓S S 鄣 F
鄣 S
F (10)
( 二) 对冲组合随机过程
建立一个由股指期货与指数现货共同构成的
对冲投资组合,其目的在于 , 经过推导, 得到关于
股指期货、指数现货及对冲投资组合的动态收益
率与动态波动率的表达式。 在该表达式的基础
上,后文将进一步提出关于股指期货价格的随机
偏微分方程。
构建一个对冲投资组合 P , P 由 1 个单位的
指数现货, 以及 x 个单位的股指期货合约构成 。
P 的瞬时价值变化为:
dP = xd F + dS + SDd t (11)
假设股指期货合约不存在初始现金流出。 由
于期货合约本身无价值, 那么对冲投资组合 P 的
价值就等于指数现货的价格, 即 P = S。
那么,对冲投资组合 P 的动态收益率为:
dP
P = x
S dF + dS
S + Ddt = xF
S d F
F + dS
S + Dd t
(12)
把对冲投资组合 P 中的期货与现货价格比
例记为 棕,即: 棕 = xF
S
则式(12)可改写为:
dP
P = 棕 dF
F + dS
S + Dd t (13)
把式(13)代入式 (7) 与式(9),得到:
dP
P = ( 棕RF + R S )d t + ( 棕滓 F + 滓S )d Z (14)
如果能找到适当的 棕* , 使得 棕* = - 滓 S / 滓F ,
即 棕* 滓F + 滓S = 0,那么式(14) 就变为 :
d P
P = ( 棕2 R F + R S)d t (15)
于是,在这个瞬间, 对冲投资组合的收益率确
定,并且无风险 。
过了这个瞬间, 一旦股指期货动态波动率 滓F
发生变化,棕滓 F + 滓S 就不等于 0。 为了保持对冲
投资组合 P 无风险, 将不得不连续对 棕 进行调
整,直到股指期货合约到期。
但是,在现实市场中, 无法对 棕 进行连续地
调整———原因在于市场的不完全性:套利的交易
成本和税负不可忽视,指数现货也无法无限细分 ,
等等。 以套利为例,Figlewski (1989) 通过实证研
究发现,每个交易日仅仅调整一次对冲头寸的比
例,都将造成较大的风险敞口与交易成本;如果减
少调整的频率,可以减少交易成本,但是对冲头寸
的风险将增加;于是,构建无风险对冲头寸并对其
进行连续调整,只存在于完全市场中。
由于在现实市场中无法对 棕 进行连续地调
整,因此, 如式(14)所示, 对冲投资组合 P 将面临
一定的风险,并获得一定的预期风险收益。
用 RP 表示对冲投资组合 P 的动态预测收益
率,并用 滓P 表示式 (14) 中 dZ 的参数 ,即:
RP = 棕R F + R S ,滓P = 棕滓 F + 滓S (16)
由式(16)反解出 R F 和 滓 F 分别为:
R F = R P - R S
棕 , 滓F = 滓P - 滓S
棕 (17)
把式(17)中的两式相除,可得:
R F
滓F = R P - RS
滓 P - 滓S (18)
( 三) 随机偏微分方程及其解析解
在前文的基础上,代入股指期货动态收益率
与动态波动率的表达式, 得到关于股指期货价格
的随机偏微分方程, 并推导出该随机偏微分方程
的解析解。
1郾 随机偏微分方程模型
把式(10)代入式 (18),可以得到下列偏微分
方程:
1
2 滓2
S S 2 鄣 2 F
鄣 S 2 +
( RP - D) - (R S - D) 滓P
滓 S
1 - 滓P
滓S
S 鄣 F
鄣 S + 鄣 F
鄣 t = 0 (19)
式(19) 就是股指期货动态价格的偏微分方
程模型。
在到期日,股指期货价格与指数现货价格收
敛,即 :
F( S,T) = S T (20)
把式(20) 作为边界条件, 可求偏微分方程
(19)的解析解。
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